Tugas MTK Wajib : Semester 1

TUGAS 1

 PENGERTIAN NILAI MUTLAK

Dalam kehidupan sehari-hari, seringkali kita diharapkan pada permasalahan yang berhubungan dengan jarak. Misalnya kita ingin menghitung jarak antara kota yang satu dengan kota yang lainya, atau jarak antara dua patok tertentu. Dalam kaitannya dengan pengukuran jarak antara dua tempat ini, timbulah sesuatu keistimewaan, bahwa jarak ini NILAInya selalu positif. Dengan kata lain pengukuran jarak antara dua tempat nilainya tidak pernah negatif.

   Secara khusus, dalam matematika untuk memberikan jaminan bahas sesuatu itu nilainya selalu positif diberikanlah suatu pengertian yang sering kita namakan sebagai  nilai mutlak.

Jadi,  Nilai Mutlak adalah suatu konsep dalam matematika yang menyatakan selalu positif. Secara matematis pengertian nilai mutlak dari setiap bilangan real x yang ditulis dengan simbol │x│, ialah nilai positif dari nilai x dan -x.

Nilai mutlak atau disebut juga nilai absolut menggambarkan jarak nomor di baris nomor dari 0 tanpa mempertimbangkan jumlah dari arah mana nol terletak. Nilai absolut dari nomor tidak pernah negatif.

Penjelasan Nilai Mutlak

Misalnya Nilai absolut dari 5 adalah 5 (jarak dari 0 yaitu 5 unit), Nilai mutlak dari -5 adalah 5 (jarak dari 0: 5 unit). Lihat gambar:

Nilai mutlak dari 2 + -7 adalah 5 (jumlah jarak dari 0: 5 unit). Lihat gambar:

Nilai mutlak dari 0 = 0, kita tidak mengatakan bahwa nilai absolut tersebut dari angka positif.Nol tidak negatif atau positif. Lihat gambar:

Mari kita lanjutkan belajar nilai mutlak dengan contohnya di bawah ini.

Simbol untuk nilai mutlak adalah dua garis lurus, sekitarnya jumlah atau ekspresi yang mengindikasikan nilai mutlak.

| 6 | = 6 berarti nilai absolut dari 6 adalah 6.

| -6 | = 6 berarti nilai absolut dari negative6 adalah 6.

| -2 – x | berarti nilai absolut dari negative2 dikurangi x.

– | x | berarti nilai negatif dari nilai absolut dari x.

Dari sudut pandang geometri, nilai mutlak dari x ditulis | x |, adalah jarak dari x ke 0 pada garis bilangan real. Karena jarak selalu positif atau nol maka nilai mutlak x juga selalu bernilai positif atau nol untuk setiap x bilangan real.

Secara formal, nilai mutlak x didefinisikan dengan :
| x | = -x    jika x ≥ 0
| x | = -x    jika x < 0

Definisi diatas dapat kita maknai sebagai berikut :

Nilai mutlak bilangan positif atau nol adalah bilangan itu sendiri dan nilai mutlak bilangan negatif adalah lawan dari bilangan tersebut.

Sebagai contoh,
| 7 | = 7    

 | 0 | = 0    

 | -4 | = -(-4) = 4

Jadi, jelas bahwa nilai mutlak setiap bilangan real akan selalu bernilai positif atau nol.  

PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN NILAI MUTLAK

Diawal telah disinggung bahwa nilai mutlak x adalah jarak dari x ke nol pada garis bilangan real. Pernyataan inilah yang akan kita gunakan untuk menemukan solusi dari persamaan dan pertidaksamaan nilai mutlak dari bentuk linier.

| x | = a   dengan a > 0

Persamaan | x | = a artinya jarak dari x ke 0 sama dengan a. Perhatikan gambar berikut.

Jarak -a ke 0 sama dengan jarak a ke 0, yaitu a. Pertanyaannya adalah dimana x agar jaraknya ke 0 juga sama dengan a.

Posisi x ditunjukkan oleh titik merah pada gambar diatas, yaitu x = -a atau x = a. Jelas terlihat bahwa jarak titik tersebut ke nol sama dengan a. Jadi, agar jarak x ke 0 sama dengan a, haruslah x = -a atau x = a.

| x | < a  untuk a > 0

Pertaksamaan | x | < a, artinya jarak dari x ke 0 kurang dari a. Perhatikan gambar berikut.

Posisi x ditunjukkan oleh ruas garis berwarna merah, yaitu himpunan titik-titik diantara -a dan a yang biasa kita tulis -a < x < a. Jika kita ambil sebarang titik pada interval tersebut, sudah dipastikan jaraknya ke 0 kurang dari a. Jadi, agar jarak x ke 0 kurang dari a, haruslah -a < x < a.

| x | > a  untuk a > 0

Pertaksamaan | x | > a artinya jarak dari x ke 0 lebih dari a. Perhatikan gambar berikut.

Posisi x ditunjukkan oleh ruas garis berwarna merah yaitu x < -a atau x > a. Jika kita ambil sebarang titik pada interval tersebut, sudah dipastikan jaraknya ke 0 lebih dari a. Jadi, agar jarak x ke nol lebih dari a, haruslah x < -a atau x > a.

Secara intuitif, uraian-uraian diatas dapat kita simpulkan sebagai berikut :
SIFAT : Untuk a > 0 berlaku
a.  | x | = a  ⇔  x = a  atau  x = -a
b.  | x | < a  ⇔  -a < x < a
c.  | x | > a  ⇔  x < -a  atau  x > a


Contoh 1
Tentukan himpunan penyelesaian dari |2x - 7| = 3

Jawab :
Berdasarkan sifat a :
|2x - 7| = 3  ⇔  2x - 7 = 3  atau  2x - 7 = -3
|2x - 7| = 3  ⇔  2x = 10  atau  2x = 4
|2x - 7| = 3  ⇔  x = 5  atau  x = 2

Jadi, HP = {2, 5}.


Contoh 2
Tentukan himpunan penyelesaian dari |2x - 1| = |x + 4|

Jawab :
Berdasarkan sifat a :
|2x - 1| = |x + 4|  ⇔  2x - 1 = x + 4  atau  2x - 1 = -(x + 4)
|2x - 1| = |x + 4|  ⇔  x = 5  atau  3x = -3
|2x - 1| = |x + 4|  ⇔  x = 5  atau  x = -1
Jadi, HP = {-1, 5}.

Contoh 3
Tentukan himpunan penyelesaian dari |2x - 1| < 7

Jawab :
Berdasarkan sifat b :
|2x - 1| < 7  ⇔  -7 < 2x - 1 < 7
|2x - 1| < 7  ⇔  -6 < 2x < 8
|2x - 1| < 7  ⇔  -3 < x < 4
Jadi, HP = {-3 < x < 4}.
Contoh 4
Tentukan himpunan penyelesaian dari |4x + 2| ≥ 6

Jawab :
Berdasarkan sifat c :
|4x + 2| ≥ 6  ⇔  4x + 2 ≤ -6  atau  4x + 2 ≥ 6
|4x + 2| ≥ 6  ⇔  4x ≤ -8  atau  4x ≥ 4
|4x + 2| ≥ 6  ⇔  x ≤ -2  atau  x ≥ 1

Jadi, HP = {x ≤ -2  atau  x ≥ 1}.


Contoh 5
Tentukan penyelesaian dari |3x - 2| ≥ |2x + 7|

Jawab :
Berdasarkan sifat c :
|3x - 2| ≥ |2x + 7| ⇔  3x - 2 ≤ -(2x + 7)  atau  3x - 2 ≥ 2x + 7
⇔  5x ≤ -5  atau  x ≥ 9
⇔  x ≤ -1  atau  x ≥ 9

Jadi, HP = {x ≤ -1  atau  x ≥ 9}


Contoh 6
Tentukan himpunan penyelesaian dari 2 < |x - 1| < 4

Jawab :
Ingat : a < x < b  ⇔  x > a  dan  x < b

Jadi, pertaksamaan 2 < |x - 1| < 4 ekuivalen dengan
|x - 1| > 2  dan  |x - 1| < 4

Berdasarkan sifat c :
|x - 1| > 2  ⇔  x - 1 < -2  atau  x - 1 > 2
|x - 1| > 2  ⇔  x < -1  atau  x > 3   ................(1)

Berdasarkan sifat b :
|x - 1| < 4  ⇔  -4 < x - 1 < 4
|x - 1| < 4  ⇔  -3 < x < 5   ............................(2)

Irisan dari (1) dan (2) diperlihatkan oleh garis bilangan berikut

Jadi, HP = {-3 < x < -1  atau  3 < x < 5}