Tugas MTK Wajib : Semester 2
Fatimah Dwi
June 19, 2019
0 Comments
TUGAS 2
Kerjakan uji kompetisi halaman 348-350 di buku tulis!
Showing posts with label Matematika Wajib. Show all posts
Showing posts with label Matematika Wajib. Show all posts
Wednesday, June 19, 2019
Tugas MTK Wajib : Semester 2
Fatimah Dwi
June 19, 2019
0 Comments
TUGAS 1
RELASI
A. Pengertian Relasi
Relasi adalah hubungan antara dua elemen dua himpunan. Relasi juga dikatakan sebagai suatu aturan yang memasangkan anggota himpunan satu ke himpunan lain. Suatu relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah pemasangan atau korespondensi dari anggota-anggota himpunan A ke anggota-anggota himpunan B. relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah aturan yang memasangkan anggota himpunan A dan anggota himpunan B dengan aturan tertentu.
Contoh :
Ada tiga anak mengatakan makanan kesukaan nya yaitu : Anis menyukai Bakso, Rina menyukai Sate dan Diko menyukai Nasi Padang.
Dari pernyataan di atas terdapat dua himpunan yaitu :
A= himpunan anak {Anis,Rina,Diko}
B= himpunan makanan {Bakso. Sate, Nasi Padang}
Relasi antara anggota himpunan A ke himpunan B yang mungkin adalah menyukai atau menyenangi.
Dari contoh di atas, himpunan A disebut domain (daerah asal) dan himpunan B disebut kodomain (daerah kawan). Sementara itu menyukai disebut Relasi. Himpunan semua anggota kodomain disebut Range (daerah hasil).
B. Metode Menyatakan Relasi
Relasi dapat dinyatakan dengan tiga cara, yaitu:
1) Dengan himpunan pasangan berurutan
2) Dengan diagram panah
3) Dengan diagram Cartesius
4) Dengan Tabel
Contoh :
A = { Buyung, Doni, Vita, Putri} dan B = { IPS, Kesenian, Keterampilan, Olahraga, Matematika, IPA, Bahasa Inggris} dan relasi yang menghubungkan antara himpunan A dan hipunan B adalah “pelajaran yang disukai”
Keterangan : Buyung suka IPS dan Kesenian, Doni suka Keterampilan dan Olahraga, Vita suka IPA, dan Putri suka Matematika dan Bahasa Inggris.
Jawaban dengan tiga metode :
1) Dengan himpunan pasangan berurutan
Himpunan yang anggotanya semua pasangan berurutan (x,y) dinamakan himpunan pasangan berurutan.
{(Buyung, IPS), (Buyung, Kesenian), (Doni, Keterampilan), (Doni, Olahraga), (Vita, IPA), (Putri, Matematika), (Putri, Bahasa Inggris)}
2) Dengan Diagram Panah
Langkah-langkah menyatakan relasi dengan diagram panah :
a. Membuat dua lingkaran atau elips
b. Untuk meletakkan anggota himpunan A dan anggota himpunan B x=A diletakkan pada lingkaran A dan y=B diletakkan pada lingkaran B
c. X dan Y dihubungkan dengan anak panah
d. Arah anak panah menunjukkan arah relasi
e. Anak panah tersebut mewakili aturan relasi
 |
3) Dengan diagram Cartesius
Pada diagram Cartesius diperlukan dua salip sumbu yaitu : sumbu mendatar (horizontal) dan sumbu tegak (vertical) yang berpotongan tegak lurus.
a. X= A diletakkan pada sumbu mendatar
b. Y= B diletakkan pada sumbu tegak
c. 
Pemasangan (x,y) ditandai dengan sebuah Noktah (titik) yang koordinatnya ditulis sebagai pasangan berurutan x,y.
Pemasangan (x,y) ditandai dengan sebuah Noktah (titik) yang koordinatnya ditulis sebagai pasangan berurutan x,y.
4) Tabel
Nama
|
Mata Pelajaran
|
Buyung
|
IPS
|
Buyung
|
Kesenian
|
Doni
|
Keterampilan
|
Doni
|
Olahraga
|
Vita
|
IPA
|
Putri
|
Matematika
|
Putri
|
Bahasa Inggris
|
C. Sifat-Sifat Relasi
a. Relasi Refleksif ( Bercermin)
Relasi disebut refleksif jika dan hanya jika untuk setiap x anggota semesta-nya, x berelasi dengan dirinya sendiri. Jadi R refleksif jika dan hanya jika xRx.
Contoh :
Jika diketahui A= {1,2,3,4} dan relasi R= {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4)} Pada A, maka R x∈A adalah refleksif, karena untuk setiap x∈A terdapat (x,x) pada R.
Perhatikan relasi pada himpunan = {1,2,3,4} berikut:
Perhatikan relasi pada himpunan = {1,2,3,4} berikut:
R1= {(1,1), (1,2), (1,4), (2,1), (2,2), (3,3), (4,1), (4,4)}
R2= {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,2), (2,3), (2,4), (3,3), (3,4), (4,4)}
Relasi-relasi tersebut merupakan relasi refleksif karena memiliki elemen (1,1), (2,2), (3,3), dan (4,4).
b. Relasi Irrefleksif
Relasi R pada A disebut Irrefleksif (anti refleksif) jika dan hanya jika setiap elemen di dalam tidak berelasi dengan dirinya sendiri. Jadi, irrefleksif jika dan hanya jika xRx.
Contoh :
Contoh :
Diketahui himpunan B= {a,b,c} dan relasi R= {(a,c), (b,c), (b,a)}. Relasi R adalah irrefleksif, karena (a,a), (b,b), dan (c,c) bukan elemen.
Diketahui A= {1,2,3,4} dan relasi R= {(2,1), (3,2), (4,1), (4,2), (4,3)}. Relasi R merupakan relasi irrefleksif, karena tidak terdapat elemen (x,x), dimana x∈A.
c. Relasi Nonrefleksif
Relasi R pada A disebut nonrefleksif jika dan hanya jika ada sekurang-kurangnya satu elemen di dalam A yang tidak berelasi dengan dirinya sendiri.
Contoh :
Perhatikan relasi pada himpunan A= {1,2,3,}
R= {(1,1), (1,2), (2,2), (2,3), (3,3)}
Relasi tersebut merupakan relasi non refleksif, karena ada (1,2) dan (2,3).
d. Relasi Simetri
Relasi R disebut simetri pada S jika dan hanya jika setiap dua anggota a dan b dari S berlaku jika a berelasi R dengan b maka b juga berelasi dengan a.
Secara simbolik: aRb → bRa.
Contoh:
1. Relasi R = { (a,b), (b,a), (a,c), (c,a) } dalam himpunan {a, b, c}.2. Ani menyukai Budi, Budi menyukai Ani {(Ani,Budi),(Budi,Ani)}
Contoh:
1. Relasi R = { (a,b), (b,a), (a,c), (c,a) } dalam himpunan {a, b, c}.2. Ani menyukai Budi, Budi menyukai Ani {(Ani,Budi),(Budi,Ani)}
e. Relasi Asimetri
Relasi R disebut asimetri pada S jika dan hanya jika setiap dua anggota a dan b dari S berlaku: jika a berelasi R dengan b maka b tidak berelasi R dengan a.
Secara simbolik: R asimetri pada S jhj (∀a,b∈S) aRb → bRa.
Contoh:
1. Relasi R = { (a,b), (b,c), (c,a) } dalam himpunan { a,b,c }.
Contoh:
1. Relasi R = { (a,b), (b,c), (c,a) } dalam himpunan { a,b,c }.
f. Relasi Nonsimetri
Relasi R disebut nonsimetri pada S jika dan hanya jika ada dua anggota a dan b dari S sedemikian hingga berlaku: a berelasi R dengan b tetapi b tidak berelasi R dengan a.
Perhatikan bahwa nonsimetri adalah negasi/ingkaran dari simetri.
Contoh:
1. Relasi R = { (a,b), (a,c), (c,a) } dalam himpunan {a, b, c}
Perhatikan bahwa nonsimetri adalah negasi/ingkaran dari simetri.
Contoh:
1. Relasi R = { (a,b), (a,c), (c,a) } dalam himpunan {a, b, c}
g. Relasi Antisimetri
Relasi R disebut antisimetri pada S jika dan hanya jika setiap dua anggota a dan b dari S berlaku: jika a berelasi R dengan b dan b berelasi R dengan a maka a=b.
Contoh:
1. A = keluarga himpunan.
Relasi “ himpunan bagian” adalah relasi yang antisimetris pada A, karena untuk setiap dua himpunan x dan y, jika x y dan y x, maka x = y.
2. Relasi “kurang dari atau sama dengan (≤)” dalam himpunan bilangan real. Jadi, relasi “kurang dari atau sama dengan (≤)” bersifat anti simetri, karena jika a ≤ b dan b ≤ a berarti a = b.
3. Relasi “habis membagi” pada himpunan bilangan bulat asli N merupakan contoh relasi yang tidak simetri karena jika a habis membagi b, b tidak habis membagi a, kecuali jika a = b. Sementara itu, relasi “habis membagi” merupakan relasi yang anti simetri karena jika a habis membagi b dan b habis membagi a maka a = b.
h. Relasi Transitif
R adalah relasi pada A. R disebut relasi Transitif pada A jika dan hanya jika setiap 3 anggota himpunan A, (a,b,c ∈A) jika (a,b)∈R, dan (b,c)∈R maka (a,c)∈R (setiap tiga anggota a,b,c dari A, jika a berelasi dengan b dan b berelasi dengan c maka a berelasi dengan c).
Contoh:
1. Relasi R = {(a,b), (b,c), (a,c), (c,c) } dalam himpunan { a,b,c }.
1. Relasi R = {(a,b), (b,c), (a,c), (c,c) } dalam himpunan { a,b,c }.
i. Relasi Nontransitif
R adalah relasi pada A. R disebut relasi nontransitif pada A jika dan hanya jika ada tiga anggota himpunan A, (a,b,c ∈A) sedemikian hingga (a,b)∈R , dan (b,c)∈R dan (a,c)∉R (ada tiga anggota a,b,c dari A sedemikian hingga a berelasi dengan b dan b berelasi dengan c dan a tidak berelasi dengan c).
Contoh:
R = {(1,2),(2,3),(3,4)} dalam himpunan { 1,2,3,4}
R = {(1,2),(2,3),(3,4)} dalam himpunan { 1,2,3,4}
j. Relasi Intransitif
R adalah relasi pada himpunan A. R disebut relasi intransitif pada A jika dan hanya jika setiap tiga anggota himpunan A, (a,b,c ∈A) jika (a,b)∈R dan (b,c)∈R maka (a,c)∉R (setiap tiga anggota a,b,c dari A, jika a berelasi dengan b dan b berelasi dengan c maka a tidak berelasi dengan c).
Misal E = {1,2,3}, R = {(1,2),(2,3),(2,5),(3,4),(5,7)}
Relasi di atas intransitif karena :
(1,2)∈R dan (2,3)∈R, tetapi (1,3)∉R
(1,2)∈R dan (2,5)∈R, tetapi (1,5)∉R
(2,3)∈R dan (3,4)∈R, tetapi (2,4)∉R
(2,5)∈R dan (5,7)∈R, tetapi (2,7)∉R
D. Komposisi Relasi
· Misalkan :
R adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B
T adalah relasi dari himpunan B ke himpunan C.
· Komposisi R dan S, dinotasikan dengan T ο R, adalah relasi dari A ke C yang didefinisikan oleh :
T ο R = {(a, c) | a ∈ A, c ∈ C, dan untuk suatu b ∈ B sehingga (a, b) ∈ R dan (b, c) ∈S }
· Contoh komposisi relasi
Ø Misalkan, A = {a, b, c}, B = {2, 4, 6, 8} dan C = {s, t, u}
Ø Relasi dari A ke B didefinisikan oleh :
R = {(a, 2), (a, 6), (b, 4), (c, 4), (c, 6), (c, 8)}
Ø Relasi dari B ke C didefisikan oleh :
T = {(2, u), (4, s), (4, t), (6, t), (8, u)}
Ø Maka komposisi relasi R dan T adalah
T ο R = {(a, u), (a, t), (b, s), (b, t), (c, s), (c, t), (c, u)}
2. FUNGSI
A. Pengertian Fungsi
Fungsi adalah bentuk khusus dari relasi. Sebuah relasi dikatakan fungsi jika xRy, untuksetiap x anggota A memiliki tepat satu pasangan, y, anggota himpunan B
Kita dapat menuliskan f(a) = b, jika b merupakan unsur di B yang dikaitkan oleh f untuk suatu a di A. Ini berarti bahwa jika f(a) = b dan f(a) = c maka b = c.
Jika f adalah fungsi dari himpunan A ke himpunan B, kita dapat menuliskan dalam bentuk : f : A → B
B. Domain, Kodomain, Dan Range
· f : A → B
· A dinamakan daerah asal (domain) dari f dan B dinamakan daerah hasil (codomain) dari f.
· Misalkan f(a) = b,
maka b dinamakan bayangan (image) dari a,
dan a dinamakan pra-bayangan (pre-image) dari b.
· Himpunan yang berisi semua nilai pemetaan f dinamakan jelajah (range) dari f.
C. Penulisan Fungsi
1) Himpunan pasangan terurut.
· Misalkan fungsi kuadrat pada himpunan {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10} maka fungsi itu dapat dituliskan dalam bentuk :
f = {(2, 4), (3, 9)}
2) Formula pengisian nilai (assignment)
· f(x) = x2 + 10,
· f(x) = 5x
D. Jenis-jenis Fungsi
1. Fungsi konstan (fungsi tetap)
Suatu fungsi f : A → B ditentukan dengan rumus f(x) disebut fungsi konstan apabila untuk setiap anggota domain fungsi selalu berlaku f(x) = C, di mana C bilangan konstan. Untuk lebih jelasnya, pelajarilah contoh soal berikut ini.
Diketahui f : R → R dengan rumus f(x) = 3 dengan daerah domain: {x | –3 ≤ x < 2}. Sehingga, gambar grafiknya.
2. 
Fungsi linear
Suatu fungsi f(x) disebut fungsi linear apabila fungsi itu ditentukan oleh f(x) = ax + b, di mana a ≠ 0, a dan b bilangan konstan dan grafiknya berupa garis lurus. Perhatikan contoh berikut.
Diketahui f(x) = 2x + 3, gambar grafiknya
Fungsi linearSuatu fungsi f(x) disebut fungsi linear apabila fungsi itu ditentukan oleh f(x) = ax + b, di mana a ≠ 0, a dan b bilangan konstan dan grafiknya berupa garis lurus. Perhatikan contoh berikut.
Diketahui f(x) = 2x + 3, gambar grafiknya
- Fungsi Kuadrat
Suatu fungsi f(x) disebut fungsi kuadrat apabila fungsi itu ditentukan oleh f(x) = ax2 + bx + c, di mana a ≠ 0 dan a, b, dan c bilangan konstan dan grafiknya berupa parabola.
Perhatikan contoh fungsi kuadrat berikut.
Perhatikan contoh fungsi kuadrat berikut.
Fungsi f ditentukan oleh f(x) = x2 + 2x – 3, gambar grafiknya.
 |
- Fungsi identitas
Suatu fungsi f(x) disebut fungsi identitas apabila setiap anggota domain fungsi berlaku f(x) = x atau setiap anggota domain fungsi dipetakan pada dirinya sendiri. Grafik fungsi identitas berupa garis lurus yang melalui titik asal dan semua titik absis maupun ordinatnya sama. Fungsi identitas ditentukan oleh f(x) = x. Agar lebih memahami tentang fungsi identitas, pelajarilah contoh berikut ini.
Fungsi pada R didefinisikan sebagai f(x) = x untuk setiap x.
a. Carilah f(–2), f(0), f(1), f(3).
b. Gambarlah grafiknya.
Penyelesaian:
a. Nilai f(–2), f(0), f(1), dan f(3).
f(x) = x
f(–2) = –2
f(0) = 0
f(1) = – 1
f(3) = 3
Fungsi pada R didefinisikan sebagai f(x) = x untuk setiap x.
a. Carilah f(–2), f(0), f(1), f(3).
b. Gambarlah grafiknya.
Penyelesaian:
a. Nilai f(–2), f(0), f(1), dan f(3).
f(x) = x
f(–2) = –2
f(0) = 0
f(1) = – 1
f(3) = 3
b. Gambar grafik.
 |
E. Sifat-sifat Fungsi
1) Fungsi Injektif/satu-satu
· Fungsi satu-satu
· Fungsi f: A → B disebut fungsi satu-satu jika dan hanya jika untuk sembarang a1 dan a2 dengan a1 tidak sama dengan a2 berlaku f(a1) tidak sama dengan f(a2). Dengan kata lain, bila a1 = a2 maka f(a1) sama dengan f(a2).
2) Fungsi Surjektif/ onto
· Fungsi kepada
· Fungsi f: A → B disebut fungsi kepada jika dan hanya jika untuk sembarang b dalam kodomain B terdapat paling tidak satu a dalam domain A sehingga berlaku f(a) = b.
· Suatu kodomain fungsi surjektif sama dengan range-nya (semua kodomain adalah peta dari domain).
3) Fungsi Bijektif/ korespondensi satu-satu
· Fungsi f: A → B disebut disebut fungsi bijektif jika dan hanya jika untuk sembarangb dalam kodomain B terdapat tepat satu a dalam domain A sehingga f(a) = b, dan tidak ada anggota A yang tidak terpetakan dalam B.
· Dengan kata lain, fungsi bijektif adalah fungsi injektif sekaligus fungsi surjektif.
Social Buttons
